c) +) giả sử k chẵn--> k² chẵn --> k²-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k² lẻ --> k²-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x²=(-4)²=16>9(ko thỏa đề)

Bài 2:

b) Với y = 0 thì vt của pt thứ 2 = 0 => loại.

Xét y khác 0:

Nhân pt thứ nhất với \(\frac{7}{5}\) rồi trừ đi pt thứ 2 thu được:

\(\frac{14}{5}x^3+\frac{21}{5}x^2y-y^3-6xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{5}\left(x-y\right)\left(14x^2+35xy+5y^2\right)=0\)

Với x = y, thay vào pt thứ 2:

\(7x^3=7\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Với \(14x^2+35xy+5y^2=0\)

\(\Leftrightarrow14\left(\frac{x}{y}\right)^2+35\left(\frac{x}{y}\right)+5=0\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\) suy ra: \(14t^2+35t+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{-35+3\sqrt{105}}{28}\\t=\frac{-35-3\sqrt{105}}{28}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm xấu quá, chị tự thay vào giải nốt :D. Nhớ check xem em có tính nhầm chỗ nào ko:D

3/ Sửa phân thức thứ 3 thành: \(\frac{1}{1+c^3}\).

Quy đồng lên ta cần chứng minh: \(\frac{\Sigma_{cyc}\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+2abc\left(a^3+b^3+c^3\right)-3a^3b^3c^3-\left[a^3+b^3+c^3-3abc+2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\right]\ge0\)Đến đây chắc là đổi biến sang pqr rồi làm nốt ạ! Hơi trâu bò tí, cách khác em chưa nghĩ ra.

Bài 1:

Ta thấy:

\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\in\mathbb{Z}\\ x+y\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2xy\in\mathbb{Z}(1)\)

\(\left\{\begin{matrix} x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\in\mathbb{Z}\\ x^2+y^2\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2x^2y^2\in\mathbb{Z}(2)\)

Từ $(1);(2)$. Đặt $2xy=a$ thì $2x^2y^2=2(xy)^2=\frac{a^2}{2}$. Để $2x^2y^2$ nguyên thì $a^2\vdots 2$ hay $a$ chẵn. Suy ra $xy=\frac{a}{2}\in\mathbb{Z}$

Từ đây ta thấy $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$ là số nguyên do $x+y,xy$ đều nguyên.

Ta có đpcm.

a, Với x = 1 thì \(A=\frac{3x+2}{x-3}=\frac{3\cdot1+2}{1-3}=\frac{5}{-2}=\frac{-5}{2}\)

Với x = 2 thì \(A=\frac{3x+2}{x-3}=\frac{3\cdot2+2}{2-3}=\frac{8}{-1}=-\frac{8}{1}=-8\)

Với x =\(\frac{5}{2}\)thì : \(A=\frac{3x+2}{x-3}=\frac{3\cdot\frac{5}{2}+2}{\frac{5}{2}-3}=\frac{\frac{15}{2}+2}{\frac{5}{2}-3}=\frac{\frac{19}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{19}{2}\cdot(-2)=\frac{19}{1}\cdot(-1)=-19\)

b, Ta có : \(\frac{3x+2}{x-3}=\frac{3x-9+11}{x-3}=\frac{3(x-3)+11}{x-3}=3+\frac{11}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow11⋮x-3\Leftrightarrow x-3\inƯ(11)=\left\{\pm1;\pm11\right\}\)

Lập bảng :

c,Để suy nghĩ đã

Làm tiếp :v

c, \(B=\frac{x^2+3x-7}{x+3}=\frac{x(x+3)-7}{x+3}=x-\frac{7}{x+3}\)

\(\Rightarrow7⋮x+3\Leftrightarrow x+3\inƯ(7)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Lập bảng :

d, Tương tự

a) Gọi biểu thức trên là A.

 \(ĐK:x\ge0\). Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\) (1)

Để \(x\in Z\) thì \(\frac{3}{\sqrt{x}+1}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{0;-2;2;-4\right\}\) nhưng do không có căn bậc 2 của số âm nên:

\(\sqrt{x}\in\left\{0;2\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{0;4\right\}\). Thay vào (1) để thử lại ta thấy chỉ có x = 0 thỏa mãn.

Vậy có 1 nghiệm là x = 0

b) Gọi biểu thức trên là B. ĐK: \(x\ge0\)

\(B=\frac{2\left(\sqrt{2}-5\right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{2}-10}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}+1}-\frac{10}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(x\in Z\) thì \(\frac{10}{\sqrt{x}+1}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

Đến đây bạn tiếp tục lập bảng tìm \(\sqrt{x}\) rồi bình phương tất cả các giá trị của \(\sqrt{x}\) để tìm được các giá trị của x nhé!. Nhưng lưu ý rằng làm xong phải thử lại bằng cách thế vào B để tìm nghiệm chính xác nhất nhé!

c) Tương tự như trên,bạn tự làm

d) Tương tự như câu a),bạn tự làm. Mình lười òi =))

\(A=\dfrac{3x^2-9x+x-3+2}{x-3}\)

\(B=\dfrac{x^2\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x^2+5}{x+2}=x-2+\dfrac{9}{x+2}\)

Để A và B cùng là số nguyên thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\\x+2\in\left\{1;-1;3;-3;9;-9\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{4;2;5;1\right\}\\x\in\left\{-1;-3;1;-5;7;-11\right\}\end{matrix}\right.\)

hay x=1

b.

\(\frac{7}{x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow7⋮x-1\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(7\right)\)

\(\Rightarrow x-1\in\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-6;0;2;8\right\}\)

c.

\(\frac{x+2}{x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow x+2⋮x-1\)

\(\Rightarrow x-1+3⋮x-1\)

\(\Rightarrow3⋮x-1\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)\)

\(\Rightarrow x-1\in\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\)

\(a,\frac{x+3}{5}\in\Leftrightarrow x+3\in B5\Leftrightarrow x\in B5-3\)

\(b,\frac{7}{x-1}\in Z\Leftrightarrow x-1\inƯ7\Leftrightarrow x-1\in\left\{\pm1;\pm7\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{-6;0;2;8\right\}\)

\(c,\frac{x+2}{x-1}\in Z\Leftrightarrow\frac{x-1+3}{x-1}\in Z\Leftrightarrow1+\frac{3}{x-1}\in Z\Leftrightarrow\frac{3}{x-1}\in Z\)

\(\Leftrightarrow x-1\inƯ3\Leftrightarrow x-1\in\left\{\pm1;\pm3\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\)

a) \(A=\frac{4x-1}{x-2}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{-2x+4}{x^2-3x+2}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4x-1}{x-2}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{-2x+4}{x^2-x-2x+2}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4x-1}{x-2}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{-2x+4}{x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4x-1}{x-2}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{-2x+4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(4x-1\right)\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)-2x+4}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4x^2-4x-x+1-x^2+2x+3x-6-2x+4}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3x^2-2x-1}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3x^2-3x+\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)\(=\frac{3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)\(=\frac{\left(x-1\right)\left(3x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}\)\(=\frac{3x+1}{x-2}\)

b)\(\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3x-6+7}{x-2}=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}\)

Ta có : \(x-2\inƯ_7\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-2=-7\\x-2=-1\\x-2=1\\x-2=7\end{array}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\text{x=-5}\\\text{x=1}\\\text{x=3}\\\text{x}=9\end{array}\right.\)

\(\text{x}=1\) (loại)

Vậy giá trị nguyên tập hợp x là:

x=-5;3;9